Optimalizační metody - Matematika  Optimalizační metody  Přípravka ČVUT  Matematika ČVUT

Název

Obrázek

Popis

Vektory

Výsledek obrázku pro matematika

Vektor představuje veličinu, která má kromě velikosti i směr. Tím se liší od obyčejného čísla, neboli skaláru, které má pouze velikost.

Matice

Výsledek obrázku pro matematika

Matice nad tělesem P je zobrazení {1,2,…,n}×{1,2,…,m}→P. Matice se obvykle označuje velkými tiskacími písmeny: A = (…). A teď česky.

Soustava lineárních rovnic

Výsledek obrázku pro matematika

Lineární nerovnice se řeší podobnými úpravami jako když počítáte běžnou lineární rovnici. Lineární nerovnice má zpravidla takovýto tvar: ax + b>0 (případně menší než, větší nebo rovno a menší nebo rovno). Nyní už stačí pouze upravit nerovnici do následující tvaru a výsledek je na světě: x>−b/a. Samozřejmě předpokládáme, že a≠0.

Soustava lineárních nerovnic

Výsledek obrázku pro matematika

Lineární nerovnice se řeší podobnými úpravami jako když počítáte běžnou lineární rovnici. Lineární nerovnice má zpravidla takovýto tvar: ax + b>0 (případně menší než, větší nebo rovno a menší nebo rovno). Nyní už stačí pouze upravit nerovnici do následující tvaru a výsledek je na světě: x>−b/a. Samozřejmě předpokládáme, že a≠0.

Lineární optimalizace

Výsledek obrázku pro matematika

Jako lineární programování nebo též lineární optimalizace či LP se označuje subdisciplína matematického programování, která řeší problém nalezení minima nebo maxima lineární funkce určitého počtu proměnných na množině popsané soustavou lineárních nerovnic. Na tento typ úlohy lze převést řadu praktických problémů. Pro řešení jsou známy spolehlivé algoritmy.

Simplexový algoritmus

Výsledek obrázku pro matematika

Simplexová metoda (Simplexový algoritmus) je iterativní způsob řešení problémů lineárního programování (lineární optimalizace) objevený americkým matematikem Georgem Dantzigem v roce 1947. Simplexová metoda postupuje od základního řešení, v každém svém kroku řešení pozmění takovým způsobem, aby hodnota účelové funkce byla vyšší než v kroku předchozím. Algoritmus terminuje, pokud řešení již nelze zlepšit (je optimální).

Obecná úloha lineárního programování

Výsledek obrázku pro matematika

Úlohy lineárního programování (LP) se vyznačují tím, že účelová funkce i všechny omezující podmínky jsou lineární. Lineární programování patří k nejstarším a nejpropracovanějším částem operačního výzkumu. K jeho významu přispívá i to, že v řadě jiných typů úloh operačního výzkumu se při řešení různým způsobem využívá metod lineárního programování.

Funkce dvou proměnných

Výsledek obrázku pro matematika

Funkce více proměnných jsou přirozeným zobecněním funkcí jedné proměnné. Pomocí nich lze popisovat realitu ve vyšších dimenzích, a budeme tedy schopni řešit i složitější prostorové problémy.

Lokální extrém funkce dvou proměnných

Výsledek obrázku pro matematika

Definice lokálního extrému se zcela přirozeně přenese do více rozměr?/P>

Vázaný extrém funkce dvou proměnných

Výsledek obrázku pro matematika

Extrém funkce je takový bod funkce, který ve svém okolí nabývá největší hodnoty (maximum) nebo nejmenší hodnoty (minimum). Největší hodnota z maxim se nazývá globální, nebo také absolutní, maximum, nejnižší hodnota z minim se nazývá globální (absolutní) minimum.

Absolutní extrém funkce dvou proměnných

Výsledek obrázku pro matematika

Motivace (tři typy extremálních úloh pro funkce více proměnných). Předpokládejme, že funkce f je spojitá a je definována v bodě (x0,y0), který je buď vnitřním nebo hraničním bodem definičního oboru. Bude nás zajímat, kdy jsou funkční hodnoty v bodě (x0,y0) ”co největší”, tj. kdy bude platit

Dopravní úloha

Výsledek obrázku pro matematika

Dopravní problém je optimalizační úloha, jejímž cílem je minimalizovat cenu přepravy zboží. Poprvé formulována F. L. Hitchcockem v roce 1941.

Úvod do teorie grafů

Výsledek obrázku pro matematika

Teorie grafů je jednou z mladších disciplin matematiky. Zatímco počátky aritmetiky nebo geometrie se ztrácí hluboko před počátkem letopočtu, tak začátky teorie grafů klademe poměrně přesně do 30. let 18. století